虽然人工智能(AI)在图像识别和自然语言处理等领域取得了令人瞩目的成就，但在尝试处理对社会具有巨大实用价值的更为复杂的科学原理和复杂工程情况时，它遇到了根本性的挑战：

无论是实现可控聚变所需的托卡马克装置中等离子体演化的精确预测，还是医学领域中心血管疾病诊疗所需的主动脉血流动力学预测，亦或是机身结构优化所需的飞机压力场预测，一个共同的理论挑战在于建立定义在复计算域上的两个函数，即黎曼流形上的算子之间的内在联系和关系。

经典的深度学习模型，例如卷积神经网络和 Transformer，是为学习离散数据之间的映射而设计的，从根本上来说，它们无法学习在连续域上定义的函数之间的映射。最近，研究人员提出了可以学习在欧几里得空间上定义的算子的神经算子，但它们在处理不规则计算域中的实际应用(包括本质上是非欧几里得的复杂表面和固体)时存在理论局限性。

针对这一通用理论挑战，南京航空航天大学李迎光教授团队提出了“黎曼流形上的神经算子”(NORM)这一新概念，将现有的神经算子理论从局限于正则欧氏空间推广到适用于复杂的不规则黎曼流形。这是突破现有神经算子理论局限性的重要一步，有望应用于许多具有相同性质和原理的应用领域的复杂问题。

针对最新的神经算子方法，对提出的 NORM 进行了评估，评估内容包括三个偏微分方程 (PDE) 的学习解，即达西流、管道湍流和传热，以及两个工程案例，即复合工件变形预测和血流动力学预测。实验结果表明，NORM 在相对预测误差和最大预测误差的测量中表现出色。值得注意的是，NORM 在学习 3D 复杂几何体上的算子时表现出更出色的性能。

“我们还证明了 NORM 在黎曼流形上学习算子时具有通用逼近性质。这一突破不仅弥补了现有神经算子研究与实际应用之间的差距，还可能彻底改变更多涉及复杂几何结构上的算子学习的现实应用，如空气动力学、血液动力学和可持续核聚变。”南京航空航天大学机电工程学院研究员李英光教授在大型复杂航空航天结构件智能制造方面拥有丰富的研究经验，他强调了这项研究的变革潜力。

该项研究成果近期发表于《国家科学开放期刊》，其他贡献者包括南京工业大学的刘旭教授，以及南京航空航天大学的陈耿祥博士、孟庆禄、陈璐、刘长青教授。